Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Напомню: натуральное число - целое число, больше 0. 0 - не является натуральным числом.

Число в системе c основанием  3 и заканчивающееся 0 запишем как a0₃, а число в системе с основание 5 и заканчивающееся на 0 запишем  как  b0_5.  Оба эти числа равны какому-то числу X основанием 10.

a0₃ = X₁₀                   b0₅ = X₁₀

Соответственно,  a0₃ = b0₅

a¹0⁰₃ = b¹0⁰₅

a*3¹ + 0*3⁰ = b*5¹ + 0*5⁰

3a = 5b

Найдём такое число, при котором будет верно данное равенство.

После подстановки чисел 1 и 2 мы получали нецелое значение. Подставив в b значение  3, мы  получили  a=5.

Получим 50₃ = 30₅

_{(не бывает числа 50 в троичной, т.к. максимальное число в троичной - это 2), но для удобства решения задачи лучше оставить так.}

Переведём любое число в 10 систему счисления и получим ответ.

5*3¹ + 0*3⁰ = 15

Ответ:  15.

Огромное спасибо, Диме Тарасову.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Лёгкий способ решения задачи B7.

Задание: укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 30 имеет ровно три значащих разряда.

Решение: самое простое решение этой задачи - это перебор основания системы счисления. По условию мы должны найти самую маленькую систему счисления, чтобы в итоге получилось трёхзначное число. Мы помним, что, когда мы переводим из десятичной системы, мы делим на основание системы. Вот и делим :-) и идём на увеличение, чтобы найти минимальное.

Делим на 2.

Получили число 11110. Мы видим, что разрядов 5, а должно быть 3 (ровно три значащих разряда).

Делим на 3.

Получили число 1010 - 4 разряда.

Делим на 4.

Получили число 132 - 3 разряда. То, что нужно!

Соответственно, наименьшее основание системы - 4.

Ответ: 4

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------